И снова всем привет! Как вы уже поняли, я расскажу о математическом аспекте многоуважаемой mmorpg. Сегодня моя задача — дать представление о том, как такой весьма важный аспект игры, как дроп предметов, поддаётся законам математики. Надеюсь многие узнают из статьи что-то новое, ну или просто с удовольствием прочитают те вещи, о которых они уже знают. Я не собираюсь рассказывать о чём-то неимоверно сложном, так что расслабьтесь и давайте приступим!
Немного о wowhead.com
Дня начала хотелось бы сказать пару слов о всем известном сайте. Думаю, что почти все знают о том, как он работает, но, тем не менее, объясню. Игроки скачивают приложение Wowhead Client, оно устанавливает аддон, собирающий информацию в игре. Таким образом вы помогаете сайту пополнять базу данных. Отличная схема, проверенная годами. Рассмотрим несколько примеров. Пепел Ал'ара — мечта любого игрока, неравнодушного к средствам передвижения. Если зайти на соответствующую страницу на вовхеде, то в разделе "добывается" мы увидим следующее:
В разделе количество написано(на момент написания статьи) 369 из 17477. Это значит, что с помощью приложения, на сайт было загружено 17477 убийств босса, из которых маунт выпал 369 раз. Сразу можно сделать выводы о количестве игроков, помогающих сайту
Тем не менее, сайт считает результат деления 369 на 17477 и выдаёт округлённую вероятность дропа 2%. О вероятностях чуть позже, сейчас сфокусируем внимание на другом. Посмотрим ещё один пример — Поводья Непобедимого. Увидим : 
Чуть выше написано, что маунт падает только в 25хм, но суть не в этом. Сегодня мы видим шанс дропа целых 5%. Это уже не правдоподобно. Сейчас август 2012ого года. Когда я заходил на вовхед и смотрел шанс дропа непобедимого пол года назад, там было написано 15%. В чём же секрет? Всё довольно просто. До Катаклизма, маунт падал с шансом 100%, так же как Чистокровный огнеястреб и Прислужница Хранительницы Жизни сегодня с соответствующих хард-модов. Вышел катаклизм, дроп уменьшили до 1%, а информация в базе данных осталась. По грубой прикидке можно предположить, что до уменьшения дропа маунт выпал 163 из 163 раз, а после 35 из 3512 раз, то есть примерно в 1 случае из 100.
Этим примером я хочу показать, что при использовании данных вовхеда стоит всегда задумываться о том, какие факторы могут влиять в данной ситуации. Аналогичные картины можно увидеть в случаях Дымящееся яйцо Миллазор, Сущность повелителя огня и многих других.
Итак, давайте наконец разберёмся, что же такое, по сути, вероятность, и, как посчитать, сколько дней вам понадобится для фарма того или иного предмета и многое другое.
Матчасть
Начну с небольшого копипаста с википедии.
Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.
С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.
Самое главное, что нужно понимать, это то, что результаты событий такого рода, как встреча человека на улице, подбрасывание кубика или выпадание предмета в WoW являются псевдослучайными, то есть, не углубляясь в философию детерменизма, мы практически не можем строить предположения о результате, полагаясь на какие-то здравые суждения. А это значит, что вероятность на самом деле является не предварительными данными, позволяющими делать предположения, а, наоборот, численным выражением результата при множестве экспериментов. Это не значит, что её не стоит воспринимать, шанс дропа 2% Пепла Ал'ара действительно даёт возможность предположить, как часто вы увидите маунт в луте, но все равно это даже близко не значит, что вы будете наблюдать его ровно одно из 50 кд с почти годовым интервалом. В общем-то вся эта тема имеет большее отношение к философии, а математика является просто инструментов анализа реальных данных. Так давайте её применим. Для этого обозначим несколько терминов, которые скорее всего многим знакомы в виде самих понятий и их применений, но не названий.
Правило умножения вероятностей
Если события A и B являются независимыми, то есть вероятность одного события никак не зависит от другого, то вероятность того, что произойдёт и то, и то, равна произведению их вероятностей.
Например, если вероятность выпадания орла на монетке 1/2, а вероятность выпадания единицы на обычном кубике 1/6, то подкидывая одновременно монетку и кубик, мы получим вероятность того, что выпадут орёл и единица 1/2 * 1/6 = 1/12. Правило, по сути, тривиальное, однако оно лежит в основе тех вычислений, в которых большинство делают ошибки.
Отрицание
Если вероятность события равна p, то вероятность того, что оно не произойдёт равна 1 — p. Событие с вероятностью 1 называется достоверным, а с вероятностью 0 — невозможным.
Перейдём к делу
. Будем считать, что вероятность дропа всё того же Пепла Ал'ара равна 2%, то есть 1/50 или 0.02. Предположим, мы убиваем босса 2 раза и хотим узнать, каковы шансы, что маунт выпадет. При этом дроп может быть 2 раза, тогда всё просто, по правилу умножения, шанс дропа 2 раза 1/50 * 1/50 = 1/2500. Однако это не очень интересно и жизненно. Стоит посчитать, каковы шансы, что маунт выпадет хотя бы 1 раз. Хочется взять, сложить и, получив 4% порадоваться, ведь это не так уж далеко от истины. Однако, если мы будем убивать босса 50 раз, то получится, что вероятность дропа будет 100%. Уже должно казаться, что что-то не так. Ведь если добавить ещё несколько килов, то шанс дропа станет больше 1, так просто не бывает. Дело в том, что со сложением вероятностей всё гораздо сложнее, чем с умножением. И ситуация, в которой надо посчитать шанс "или, или" сложнее, чем, когда надо посчитать шанс "и". Давайте немного обернём нашу задачу. Каковы шансы, что маунт не упадёт после убийства? Очевидно 0,98. А какова вероятность, что после следующего убийства он тоже не упадёт? Снова 0,98. По правилу умножения, вероятность того, что маунт не выпадет за 2 раза равна произведению вероятностей, то есть 0,9604. Это посчитано так же, как и шанс дропа 2 маунтов за 2 кд. 0,9604 это вероятность того, что маунт не выпадет за 2 раза вообще, а значит 1 — 0,9604 это вероятность того, что он выпадет за 2 кд, то есть выпадет хотя бы 1 раз. 1 — 0,9604 = 0,0396, то есть 3,96%. Это действительно близко к 4% и не спроста. Разница между ними — это 0,0004, это как раз вероятность того, что маунт выпадет оба раза. Однако суть не в этом. Мы только что получили формулу для вычисления вероятность дропа предметов после нескольких подходов. Если вероятность события p, то вероятность того, что оно произойдёт хотя бы 1 раз за n попыток считается так :
Для случая 2 убийств босса n=2 и до этого мы посчитали 1 — (1-0.02)*(1-0.02) = 0.3906. Воспользовавшись калькулятором, мы найдём шанс дропа феникса за 10 подходов — примерно 0,18.
Немного повернём задачу. Пусть нам дана вероятность P, и мы хотим найти n, то есть узнать, сколько раз нужно убить босса, чтобы получить определённую вероятность дропа. Просто переставим переменные в формуле, получим :
По новой формуле, чтобы получить шанс дропа 50%, надо убить босса примерно 34 раза. Стоит отметить, что при подстановке P=1 в формулу, логарифм будет не определён. Кстати для шанса 99% надо убить босса 228 раз
. К сожалению, многие, узнав про формулу, думают, что если для n подходов вероятность была P, то после любого количества попыток она такой и остаётся. Например, пусть за 10 раз вероятность события 80%. Тогда по "логике" после 9 неудач, шанс успех на 10ой попытке будет 80%. Это совсем не так. Вероятность можно определить предварительно, то есть сказать, что если вероятность события 2%, то вероятность за 10 попыток 18%. Однако, если интерпретировать эту вероятность, как вероятность того, что событие произойдёт за оставшиеся попытки, то она будет уменьшаться при проведении экспериментов.
Теперь давайте рассмотрим ещё один небольшой аспект. По логике обычного сложения, за 50 раз мы получилась 100% дроп феникса. При подсчёте, реальный дроп составит 63%. Если считать, что шанс дропа Поводья коня смерти 1%, то за 100 убийств
Те, у кого остались воспоминания со школы, узнают в последнем слагаемом "замечательный предел". Выражаясь простым языком, чем больше n, тем ближе это чисто будет к 1/e, где e — константа Эйлера, подробнее тут. Это число равно примерно 2,718281828459045
. Значит, чем больше n, тем ближе результат к 1 — 1/e = 0,632102. Так как шанс дропа предметов в WoW обычно довольно маленький, n достаточно большое, чтобы можно было сказать, что шанс дропа за n раз равен 63%.Теперь рассмотрим ситуацию, в которой необходимо получить несколько разных предметов с 1 босса. Отличным примером будут Боевой клинок Аззинота и Боевой клинок Аззинота. Судя по данным вовхеда дроп составляет примерно по 5,5%. Для более общего примера будет считать, что у одного дроп 5%, а у другого 6%. После n убийств Иллидана дроп клинков будет составлять
Чтобы получить шанс собрать легендарные клинки за n походов на могучего полуэльфа-полудемона, достаточно перемножить полученные числа.
Для примера, за 20 походов вы получите мечи с вероятностью 36%. Это всё является правдой, если считать дропы клинков не зависимыми друг от друга. Однако я не встречал информацию, что известны случаи выпадания обоих клинков одновременно, так что, если дроп одного клинка блокирует другой, задача усложняется, хотя результат и практически не меняется.
Заключение
Изначально я хотел выбрать более широкую тему для статьи, рассказать о характеристиках, диминишинге итд, но, увы, про это я много пока что не расскажу. Я решил сделать эту статью не очень большой, чтобы заинтересованный читатель мог действительно разобраться, не пролистывая стены текста про мат ожидания, страшные формулы итд. Надеюсь вам понравилась статья, до новых встреч!
Автор всегда принимает в личку предложения по поводу тематики для новых статей
комментарии (56)
